Question

如图：已知等边△ABC中，D是AC的中点，E是BC延长线上的一点，且CE=CD，DM⊥BC，垂足为M．

（1）求∠E的度数．   

（2）求证：M是BE的中点．

Answer

（1）30°；（2）证明见解析.

【解析】试题（1）由等边△ABC的性质可得：∠ACB=∠ABC=60°，然后根据等边对等角可得：∠E=∠CDE，最后根据外角的性质可求∠E的度数；

（2）连接BD，由等边三角形的三线合一的性质可得：∠DBC=∠ABC=×60°=30°，结合（1）的结论可得：∠DBC=∠E，然后根据等角对等边，可得：DB=DE，最后根据等腰三角形的三线合一的性质可得：M是BE的中点．

试题解析：（1）∵三角形ABC是等边△ABC，

∴∠ACB=∠ABC=60°，

又∵CE=CD，

∴∠E=∠CDE，

又∵∠ACB=∠E+∠CDE，

∴∠E=∠ACB=30°；

（2）连接BD，

∵等边△ABC中，D是AC的中点，

∴∠DBC=∠ABC=×60°=30°

由（1）知∠E=30°

∴∠DBC=∠E=30°

∴DB=DE

又∵DM⊥BC

∴M是BE的中点．