Question

如图，△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为边在△ABC外作等边三角形ACD，过点D作AC的垂线，垂足为F，与AB相交于点E，连接CE．

（1）说明：AE＝CE＝BE；

（2）若AB＝15cm，P是直线DE上的一点．则当P在何处时，PB+PC最小，并求出此时PB+PC的值．

Answer

（1）证明见解析；（2）当点P在E处时，PB+PC＝15cm．

【解析】

（1）根据等边三角形“三合一”的性质证得DE垂直平分AC；然后由等腰三角形的判定知AE＝CE，根据等边对等角、直角三角形的两个锐角互余的性质以及等量代换求得∠BCE＝∠B；最后根据等角对等边证得CE＝BE，所以AE＝CE＝BE；

（2）由（1）知，DE垂直平分AC，故PC＝PA；由等量代换知PB+PC＝PB+PA；根据两点之间线段最短可知，当点P、B、A在同一直线上最小，所以点P在E处时最小．

（1）在等边三角形ADC中，∵DF⊥AC，∴DF垂直平分AC，∴AE＝CE，∴∠ACE＝∠CAE（等边对等角）；

∵∠ACB＝90°（已知），∴∠ACE+∠BCE＝∠CAE+∠B＝90°，∴∠BCE＝∠B，∴CE＝BE（等角对等边），∴AE＝CE＝BE；

（2）由（1）知，DE垂直平分AC，∴PC＝PA，∴PB+PC＝PB+PA；

∴当PB+PC最小时，也就是PB+PA最小，即点P、B、A在同一直线上最小，所以点P在E处时最小．

当点P在E处时，PB+PC＝EB+EC＝EB+EA＝AB＝15cm．