Question

如图，△ABC和△AOD是等腰直角三角形，AB=AC，AO=AD，∠BAC=∠OAD=90°，点O是△ABC内的一点，∠BOC=130°．

（1）求证：OB=DC；

（2）求∠DCO的大小；

（3）设∠AOB=α，那么当α为多少度时，△COD是等腰三角形．

Answer

（1）证明见解析；（2）40°；（3）当α的度数为115°或85°或145°时，△AOD是等腰三角形．

【解析】

（1）由已知证明△AOB≌△ADC，根据全等三角形的性质即可证得；

（2）由∠BOC=130°，根据周角的定义可得∠BOA+∠AOC=230°，再根据全等三角形的性质继而可得∠ADC+∠AOC=230°，由∠DAO=90°，在四边形AOCD中，根据四边形的内角和即可求得∠DCO的度数；

（3）分三种情况进行讨论即可得.

（1）∵∠BAC=∠OAD=90°，

∴∠BAC﹣∠CAO=∠OAD﹣∠CAO，

∴∠DAC=∠OAB，

在△AOB与△ADC中，

，

∴△AOB≌△ADC，

∴OB=DC；

（2）∵∠BOC=130°，

∴∠BOA+∠AOC=360°﹣130°=230°，

∵△AOB≌△ADC

∠AOB=∠ADC，

∴∠ADC+∠AOC=230°，

又∵△AOD是等腰直角三角形，

∴∠DAO=90°，

∴四边形AOCD中，∠DCO=360°﹣90°﹣230°=40°；

（3）当CD=CO时，

∴∠CDO=∠COD==70°，

∵△AOD是等腰直角三角形，

∴∠ODA=45°，

∴∠CDA=∠CDO+∠ODA=70°+45°=115°，

又∠AOB=∠ADC=α，

∴α=115°；

当OD=CO时，

∴∠DCO=∠CDO=40°，

∴∠CDA=∠CDO+∠ODA=40°+45°=85°，

∴α=85°；

当CD=OD时，

∴∠DCO=∠DOC=40°，

∠CDO=180°﹣∠DCO﹣∠DOC=180°﹣40°﹣40°=100°，

∴∠CDA=∠CDO+∠ODA=100°+45°=145°，

∴α=145°，

综上所述：当α的度数为115°或85°或145°时，△AOD是等腰三角形．