Question

如图，△ABC是边长为4cm的等边三角形，点P，Q分别从顶点A，B同时出发，沿线段AB，BC运动，且它们的是速度都为1厘米/秒．当点P到达点B时，P、Q两点停止运动．设点P的运动时间为t（秒）．

（1）当运动时间为t秒时，AP的长为　   　厘米，QC的长为　   　厘米；（用含t的式子表示）

（2）当t为何值时，△PBQ是直角三角形？

（3）连接AQ、CP，相交于点M，如图2，则点P，Q在运动的过程中，∠CMQ会变化吗？若变化，则说明理由；若不变，请求出它的度数．

Answer

（1）t，4﹣t；（2）当第秒或第秒时，△PBQ为直角三角形；（3）∠CMQ=60°不变，理由见解析

【解析】试题（1）根据点P、Q的运动速度表示出AP、BQ的长，再根据BC的长即可表示出CQ的长；

（2）需要分类讨论：分∠PQB=90°和∠BPQ=90°两种情况；

（3）∠CMQ=60°不变．通过证△ABQ≌△CAP（SAS）得到：∠BAQ=∠ACP，所以由三角形外角定理得到∠CMQ=∠ACP+∠CAM=∠BAQ+∠CAM=∠BAC=60°．

试题解析：（1）依题意得：AP=t，QC=4﹣t．

故答案是：t；4﹣t；

（2）设时间为t，则AP=BQ=t，PB=4﹣t，

①当∠PQB=90°时，

∵∠B=60°，

∴PB=2BQ，得4﹣t=2t，t=；

②当∠BPQ=90°时，

∵∠B=60°，

∴BQ=2BP，得t=2（4﹣t），t=；

∴当第秒或第秒时，△PBQ为直角三角形；

（3）∠CMQ=60°不变．理由如下：

∵在△ABQ与△CAP中 ，

∴△ABQ≌△CAP（SAS），

∴∠BAQ=∠ACP，

∴∠CMQ=∠ACP+∠CAM=∠BAQ+∠CAM=∠BAC=60°．