Question

已知点 P（x，y）在第一象限，且 x+y＝12，点 A（10，0）在 x 轴上，当△OPA 为直角三角形时，点 P 的坐标为_______．

Answer

（10，2）、（8，4）、（9，3）．

【解析】

分情况讨论：①若O为直角顶点，则点P在y轴上，不合题意舍去； ②若A为直角顶点，则PA⊥x轴，所以点P的横坐标为10，代入y=-x+12中，得y=2，求出点P坐标为（10，2）；③若P为直角顶点，可得△OPB∽△PAB，根据相似三角形的性质求出P点横坐标，进而得到P点坐标．

分情况讨论：

①若O为直角顶点，则点P在y轴上，不合题意舍去；

②若A为直角顶点，则PA⊥x轴，所以点P的横坐标为10，代入y=-x+12中，得y=2，

所以点P坐标（10，2）；

③若P为直角顶点，可得△OPB∽△PAB，

∴ ，

∴PB2=OB•AB，

∴（-x+12）2=x（10-x），

解得x=8或9，

∴点P坐标（8，4）或（9，3），

∴当△OPA为直角三角形时，点P的坐标为（10，2）、（8，4）、（9，3），
故答案为：（10，2）、（8，4）、（9，3）．