Question

如图，在等腰△ABC中，AC＝BC＝10，以BC为直径作⊙O交AB于点D，交AC于点G，DF⊥AC于F，交CB的延长线于点E．

（1）求证：直线EF是⊙O的切线；

（2）若sin∠E＝，求AB的长．

Answer

（1）见解析；（2）AB＝2．

【解析】

（1）连接OD，根据等腰三角形性质求出∠A=∠ABC=∠ODB，推出OD∥AC，推出OD⊥DF，根据切线判定推出即可；

（2）连接BG，推出BG∥EF，推出∠E=∠GBC，根据已知推出sin∠GBC==，求出CG，求出AG，根据勾股定理求出BG，在△BGA中，根据勾股定理求出AB即可．

（1）证明：连接OD，

∵AC＝BC，

∴∠ABC＝∠BAC，

∵OD＝OB，

∴∠ABC＝∠ODB，

∴∠BAC＝∠BDO，

∴OD∥AC，

∵DF⊥AC，

∴OD⊥DF，

∵OD为半径，

∴直线EF是⊙O的切线；

（2）连接BG，

∵BC是⊙O直径，

∴∠BGC＝90°，

∵DF⊥AC，

∴∠DFC＝90°＝∠BGC，

∴BG∥EF，

∴∠E＝∠GBC，

∵sin∠E＝，

∴sin∠GBC＝＝，

∵BC＝10，

∴CG＝4，

∴AG＝10﹣4＝6，由勾股定理得：BG＝，

在Rt△BGA中，由勾股定理得：AB＝，即AB＝2．