Question

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，将△ABC绕顶点C逆时针旋转得到△A'B'C，M是BC的中点，P是A'B'的中点，连接PM．若BC=2，∠BAC=30°，则线段PM的最大值是（　　）

A. 4    B. 3    C. 2    D. 1

Answer

B

【解析】

连接CP，由题意可知BC的长，从而求出AB、CM的长，由旋转的性质得出ED的长,再根据直角三角形斜边上的中线是斜边的一半可求出PC的长，最后由三角形的两边之和大于第三边可知，当点P、M、C共线时，PM取最大值.

如图：连接CP，

∵∠ACB=90°，∠A=30°，BC=2，

∴AB=2BC=4.

∵BC的中点为M，

∴CM=BC=×2=1.

∵绕点C逆时针旋转任意一个角度得到Rt△DEC，P是Rt△DEC中ED的中点.

∴AB=ED,

∴CP=ED=AB=×4=2.

由三角形的三边关系得，CM+CP＞PM，

∴P、C、M三点共线时PM有最大值.

此时PM=CM+CP=1+2=3．