Question

如图，在△ABC中，BA=BC=20cm，AC=30cm，点P从A点出发，沿着AB以每秒4cm的速度向B点运动；同时点Q从C点出发，沿着CA以每秒3cm的速度向A点运动，设运动时间为x秒．

（1）x为何值时，PQ∥BC；

（2）是否存在某一时刻，使△APQ∽△CQB？若存在，求出此时AP的长；若不存在，请说明理由；

 

Answer

（1）即当x＝时，PQ∥BC；（2）综上所述，当AP的长为cm或20 cm时，△APQ与△CQB相似．

【解析】

(1)当PQ∥BC 时,根据平行线分线段成比例定理,可得出关于AP,PQ,AB,AC的比例关系式,我们可根据P,Q的速度,用时间x表示出AP,AQ,然后根据得出的关系式求出x的值.
(2)本题要分两种情况进行讨论.已知了∠A 和∠C 对应相等,那么就要分成AP和CQ对应成比例以及AP和BC对应成比例两种情况来求x的值.

【解析】
(1)∵PQ∥BC，∴∠AQP＝∠C.

又∵∠A＝∠A，

∴△APQ∽△ABC，

∴＝，

即＝，

解得x＝.

即当x＝时，PQ∥BC.

(2)能相似．

∵AB＝BC，

∴∠A＝∠C，

∴△APQ和△CQB相似可能有以下两种情况：

①△APQ∽△CQB，可得＝，

即＝，

解得x＝.

经检验，x＝是上述方程的解．

∴当AP＝4x＝cm时，△APQ∽△CQB；

②△APQ∽△CBQ，可得＝，

即＝，

解得x＝5或x＝－10(舍去)．

经检验，x＝5是上述方程的解．

∴当AP＝4x＝20 cm时，△APQ∽△CBQ.

综上所述，当AP的长为cm或20 cm时，△APQ与△CQB相似．