Question

如图，为的内接三角形，为的直径，过点作的切线交的延长线于点．

（1）求证：；

（2）过点作的切线交于点，求证：；

（3）若点为直径下方半圆的中点，连接交于点，且，，求的长．

Answer

（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）．

【解析】

（1）利用AB是圆O的直径和AD是圆O的切线判断出∠ACD=∠DAB=90°，即可得出结论；

（2）利用切线长定理判断出AE=CE，从而得到∠DAC=∠EAC，再用等角的余角相等判断出∠D=∠DCE，得出DE=CE，即可得到结论；

（3）先求出tan∠ABD的值，进而得出GH=2CH，进而得到BC=3BH，再求出BC建立方程求BH，从而求出GH.

（1）∵AB是⊙O直径，∴∠ACD＝∠ACB＝90°．

∵AD是⊙O的切线，∴∠BAD＝90°，∴∠ACD＝∠DAB＝90°．

∵∠D＝∠D，∴△DAC∽△DBA；

（2）∵EA，EC是⊙O的切线，∴AE＝CE（切线长定理），∴∠DAC＝∠ECA．

∵∠ACD＝90°，∴∠ACE+∠DCE＝90°，∠DAC+∠D＝90°，∴∠D＝∠DCE，∴DE＝CE，∴AD＝AE+DE＝CE+CE＝2CE，∴CEAD；

（3）如图，在Rt△ABD中，AD＝6，AB＝3，∴tan∠ABD2，过点G作GH⊥BD于H，∴tan∠ABD2，∴GH＝2BH．

∵点F是直径AB下方半圆的中点，∴∠BCF＝45°，∴∠CGH＝∠CHG﹣∠BCF＝45°，∴CH＝GH＝2BH，∴BC＝BH+CH＝3BH．在Rt△ABC中，tan∠ABC2，∴AC＝2BC，根据勾股定理得：AC2+BC2＝AB2，∴4BC2+BC2＝9，∴BC，∴3BH，∴BH，∴GH＝2BH．在Rt△CHG中，∠BCF＝45°，∴CGGH．