Question

如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝60°.

(1)作∠B的平分线BD，交AC于点D；作AB的中点E(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明)；

(2)连接DE，求证：△ADE≌△BDE.

Answer

（1）作图见解析；（2）证明见解析.

【解析】

（1）①以B为圆心，任意长为半径画弧，交AB、BC于F、N，再以F、N为圆心，大于FN长为半径画弧，两弧交于点M，过B、M作射线，交AC于D，线段BD就是∠B的平分线。

②分别以A、B为圆心，大于AB长为半径画弧，两弧交于X、Y，过X、Y作直线与AB

交于点E，点E就是AB的中点.

（2）首先根据角平分线的性质可得∠ABD的度数，从而得到∠ABD=∠A，根据等角对等边可得AD=BD，再加上条件AE=BE，即可利用SAS证明△ADE≌△BDE.

 【解析】
（1）作图如下： 

（2）证明：∵∠ABD＝×60°＝30°，∠A＝30°，

∴∠ABD＝∠A。∴AD＝BD.

又∵AE＝BE，

∴△ADE≌△BDE（SAS）.