Question

如图，正方形ABCD的边长为2，P为CD的中点，连结AP，过点B作BE⊥AP于点E，延长CE交AD于点F，过点C作CH⊥BE于点G，交AB于点H，连接HF．下列结论正确的是（　　）

A. CE=    B. EF=    C. cos∠CEP=    D. HF²=EF•CF

Answer

D

【解析】

首先证明AH=HB，推出BG=EG，推出CB=CE，再证明△CBH≌△CEH，Rt△HFE≌Rt△HFA，利用全等三角形的性质即可一一判断．

连接．

四边形ABCD是正方形，

∴CD=AB=BC=AD=2，CD∥AB，

∵BE⊥AP，CG⊥BE，

∴CH∥PA，

∴四边形是平行四边形，

∴CP = AH，

∵CP=PD=1，

∴AH=PC=1，

∴AH=BH，

在Rt△ABE中，∵AH=HB，

∴EH=HB，∵HC⊥BE，

∴BG=EG，

∴CB=CE=2，故选项A错误，

∵CH=CH，CB=CE，HB=HE，

∴△CBH≌△CEH，

∴∠CBH=∠CEH=90°，

∵HF=HF，HE=HA，

∴Rt△HFE≌Rt△HFA，

∴AF=EF，设EF=AF=x，

在Rt△CDF中，有22+(2-x)2=(2+x)2，

∴x= ，

∴EF=∴，故B错误，

∵PA∥CH，

∴∠CEP=∠ECH=∠BCH，

∴cos∠CEP=cos∠BCH== ，故C错误．

∵HF= ，EF= ，FC=

∴HF2=EF·FC，故D正确，

故选：D．