Question

如图，矩形ABCD中，AC=2AB，将矩形ABCD绕点A旋转得到矩形AB′C′D′，使点B的对应点B'落在AC上，B'C'交AD于点E，在B'C′上取点F，使B'F=AB．

（1）求证：AE=C′E．

（2）求∠FBB'的度数．

（3）已知AB=2，求BF的长．

Answer

（1）证明见解析；（2）∠FBB′=15°；（3）BF=+．

【解析】

（1）在直角三角形ABC中，由AC=2AB，得到∠ACB=30°，再由折叠的性质得到一对角相等，利用等角对等边即可得证；

（2）由（1）得△ABB′为等边三角形，求出∠B B′F=150°，再由B′F = BB′得到∠FB B′=∠BF B′，最后由三角形内角和得到∠FB B′=15°；

（3）判断出△ABH是等腰直角三角形可求出AH=BH=，由勾股定理求出AF=2FG=，最后求出BF=+

（1）证明：∵在Rt△ABC中，AC=2AB，

∴∠ACB=∠AC′B′=30°，∠BAC=60°，

由旋转可得：AB′=AB，∠B′AC=∠BAC=60°，

∴∠EAC′=∠AC′B′=30°，

∴AE=C′E；

（2）【解析】
由（1）得到△ABB′为等边三角形，

∴∠AB′B=60°，

∵，

∴。

∵，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴∠FBB′=15°；

（3）如图，连接，作于点。

在中，，，

，

∴是等腰直角三角形，

∴。

在中，，

，

∴，

∴在中，

，

∴