Question

空间任意选定一点O，以点O为端点，作三条互相垂直的射线ox、oy、oz.这三条互相垂直的射线分别称作x轴、y轴、z轴，统称为坐标轴，它们的方向分别为ox（水平向前）、oy（水平向右）、oz（竖直向上）方向，这样的坐标系称为空间直角坐标系.

将相邻三个面的面积记为S₁、S₂、S₃，且S₁＜S₂＜S₃的小长方体称为单位长方体，现将若干个单位长方体在空间直角坐标系内进行码放，要求码放时将单位长方体S₁所在的面与x轴垂直，S₂所在的面与y轴垂直，S₃所在的面与z轴垂直，如图1所示.

若将x轴方向表示的量称为几何体码放的排数，y轴方向表示的量称为几何体码放的列数，z轴方向表示的量称为几何体码放的层数；如图2是由若干个单位长方体在空间直角坐标内码放的一个几何体，其中这个几何体共码放了1排2列6层，用有序数组记作（1,2,6），如图3的几何体码放了2排3列4层，用有序数组记作（2,3,4）.这样我们就可用每一个有序数组（x，y，z）表示一种几何体的码放方式.

（1）如图是由若干个单位长方体码放的一个几何体的三视图，写出这种码放方式的有序数组，组成这个几何体的单位长方体的个数为多少个；

（2）对有序数组性质的理解，下列说法正确的是哪些；（只写序号）

①每一个有序数组（x，y，z）表示一种几何体的码放方式.

②有序数组中x、y、z的乘积就表示几何体中单位长方体的个数.

③有序数组不同，所表示几何体的单位长方体个数不同.

④不同的有序数组所表示的几何体的体积不同.

⑤有序数组中x、y、z每两个乘积的2倍可分别确定几何体表面上S₁、S₂、S₃的个数.

（3）为了进一步探究有序数组（x，y，z）的几何体的表面积公式S_（x,y,z），某同学针对若干个单位长方体进行码放，制作了下列表格：

几何体 有序数组	单位长方体的个数	表面上面积为的个数	表面上面积为的个数	表面上面积为的个数	表面积
(1，1，1)	1	2	2	2	2S1+2S2+2S3
(1，2，1)	2	4	2	4	4S1+2S2+4S3
(3，1，1)	3	2	6	6	2S1+6S2+6S3
(2，1，2)	4	4	8	4	4S1+8S2+4S3
(1，5，1)	5	10	2	10	10S1+2S2+10S3
(1，2，3)	6	12	6	4	12S1+6S2+4S3
(1，1，7)	7	14	14	2	14S1+14S2+2S3
(2，2，2)	8	8	8	8	8S1+8S2+8S3
…	…	…	…	…	…

根据以上规律，请写出有序数组（x，y，z）的几何体表面积计算公式S_（x,y,z）；（用x、y、z、S₁、S₂、S₃表示）

（4）当S₁=2，S₂=3，S₃=4时，对由12个单位长方体码放的几何体进行打包，为了节约外包装材料，对12个单位长方体码放的几何体表面积最小的规律进行探究，根据探究的结果请写出使几何体表面积最小的有序数组，并用几何体表面积公式求出这个最小面积.（缝隙不计）

Answer

（1）(2，3，2)，12；（2）正确的有①②⑤；（3）S（x,y,z）=；（4）由12个单位长方体码放的几何体表面积最小的有序数组为(2，2，3)，最小面积为S(2,2,3)=92．

【解析】

（1）根据三视图即可得到这种码放方式的有序数组，几何体的单位长方体的个数等于有序数组三个数的乘积；（2）根据题中所给的定义进行判断即可；（3）仔细阅读表格，找出其中规律即可得到几何体表面积计算公式S（x,y,z）；（4））当S1=2，S2=3，S3=4时，S（x，y，z）＝2（2yz＋3xz＋4xy），要使S（x，y，z）的值最小，需满足x≤y≤z，列出满足条件的数组，比较不同数组的表面积即可.

（1）这种码放方式的有序数组为，3，，组成这个几何体的单位长方体的个数为个，

故答案为，3，，12；

（2）正确的有①②⑤．

故答案为①②⑤；

（3）．

（4）当，，时

欲使的值最小，不难看出、、应满足、、为正整数）．

在由12个单位长方体码放的几何体中，满足条件的有序数组为，1，，，2，，，3，，，2，．

而，，，

所以，由12个单位长方体码放的几何体表面积最小的有序数组为：，2，，

最小面积为．