Question

如图，∠AOB=30°，点M，N在射线OA上(都不与点O重合)，且MN=2，点P在射线OB上，若△MPN为等腰直角三角形，则PO的长为 ___．

Answer

2或4

【解析】

△MPN是等腰直角三角形，则有三种可能：∠PMN是直角，∠MPN是直角，∠PNM是直角，根据角度和边长的关系，分三种情况一一讨论，求出PO的长度.

情况一，∠PMN＝90°，则PM＝MN=2.在△OPM中，∠PMO＝90°，∠O＝30°，所以PO＝2×PM＝4.

情况二，∠MPN＝90°，则PN＝PM＝.过P做PC垂直OA于C，易知PC＝1.△OCP中，∠O＝30°，∠PCO＝90°，所以OP＝2×PC＝2.

情况三，∠PNM＝90°，由于OB上不存在这样的P点满足条件，所以该情况不会出现.

综上，PO的长度为2或4.