Question

对于平面直角坐标系xOy中的线段AB及点P，给出如下定义：

若点P满足PA=PB，则称P为线段AB的“轴点”，其中，当0°＜∠APB＜60°时，称P为线段AB的“远轴点”；当60°≤∠APB≤180°时，称P为线段AB的“近轴点”.

(1)如图1，点A，B的坐标分别为(-2，0)，(2，0)，则在，，， 中，线段AB的“近轴点”是    .

(2)如图2，点A的坐标为(3，0)，点B在y轴正半轴上，且∠OAB=30°.

①若P为线段AB的“远轴点”，直接写出点P的横坐标t的取值范围   ；

②点C为y轴上的动点(不与点B重合且BC≠AB)，若Q为线段AB的“轴点”，当线段QB与QC的和最小时，求点Q的坐标.

Answer

(1)P2 , P3；(2)t＜0或t＞3；(3)当点Q的坐标为(1，0)时，线段QB与QC的和最小．

【解析】

（1）利用近轴点的意义即可得出结论；（2）①根据远轴点的定义通过图像判断即可；②根据题意，点Q在线段AB的垂直平分线l上，将情况分为点B，C在l的同侧以及在l的异侧进行讨论：当B，C在l的同侧时，易知当点C与点O重合，Q为AO与直线l的交点时，QB＋QC最小，根据30°角的三角函数关系得到QC与BQ的关系，再根据OA＝QC＋AQ＝QC＋BQ＝3列方程求出Q点坐标即可；当B，C在l的异侧时，显然QB+QC＞3，即可得到答案．

(1)P2 , P3．

(2)①t＜0或t＞3．

②根据题意，点Q在线段AB的垂直平分线l上．

当点B，C在直线l的同侧时，

对于满足题意的点C的每一个位置，都有QB+QC=QA+QC．

∵QA+QC≥AC，AC≥AO

∴当点C与点O重合，Q为AO 与直线l交点时，QB+QC最小．

∵∠OAB=30°，AQ=BQ，

∴∠QBA=∠QBO=30°．

∴OQ=BQ．

在Rt△BOQ中，设OQ=x，则AQ=BQ=2x．

∴3x=3．

解得 x=1．

∴Q(1，0)．

当点B，C在直线l的异侧时，QB+QC＞3．

综上所述，当点Q的坐标为(1，0)时，线段QB与QC的和最小．