Question

如图，四边形中，，以为直径的经过点，连接、交于点．

（1）证明：；

（2）若，证明：与相切；

（3）在（2）条件下，连接交于点，连接，若，求的长．

Answer

（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）．

【解析】

（1）连接OC，证△OAD≌△OCD 得∠ADO＝∠CDO ，由AD＝CD知DE⊥AC ，再由AB为直径知BC⊥AC，从而得OD∥BC；

（2）根据tan∠ABC2可设BC＝a、则AC＝2a、AD＝AB，证OE为中位线知OEa，AE＝CEAC＝a，进一步求得DE2a，在△AOD中利用勾股定理逆定理证∠OAD＝90°即可；

（3）先证△AFD∽△BAD，再证△AED∽△OAD由相似的性质可，结合∠EDF＝∠BDO知△EDF∽△BDO，据此可得，结合（2）可得相关线段的长，代入计算可得．

（1）连接OC。

在△OAD和△OCD中，

∵，

∴△OAD≌△OCD（SSS），

∴∠ADO＝∠CDO，

又AD＝CD，

∴DE⊥AC．

∵AB为⊙O的直径，

∴∠ACB＝90°，

∴∠ACB＝90°，即BC⊥AC，

∴OD∥BC；

（2）∵tan∠ABC2，

∴设BC＝a、则AC＝2a，

∴AD＝AB．

∵OE∥BC，且AO＝BO，

∴OEBCa，AE＝CEAC＝a．

在△AED中，DE2a．

在△AOD中，AO2+AD2＝（）2+（a）2a2，OD2＝（OE+DE）2＝（a+2a）2a2，

∴AO2+AD2＝OD2，

∴∠OAD＝90°，

∴DA与⊙O相切；

（3）连接AF．

∵AB是⊙O的直径，

∴∠AFD＝∠BAD＝90°．

∵∠ADF＝∠BDA，

∴△AFD∽△BAD，

∴，

即DF•BD＝AD2①．

又∵∠AED＝∠OAD＝90°，∠ADE＝∠ODA，

∴△AED∽△OAD，

∴，

即OD•DE＝AD2②，

由①②可得DF•BD＝OD•DE，

即．

又∵∠EDF＝∠BDO，

∴△EDF∽△BDO．

∵BC＝1，

∴AB＝AD、OD、ED＝2、BD、OB，

∴，

即，

解得：EF．