Question

已知，，，斜边，将绕点顺时针旋转，如图1，连接．

（1）填空：　　；

（2）如图1，连接，作，垂足为，求的长度；

（3）如图2，点，同时从点出发，在边上运动，沿路径匀速运动，沿路径匀速运动，当两点相遇时运动停止，已知点的运动速度为1.5单位秒，点的运动速度为1单位秒，设运动时间为秒，的面积为，求当为何值时取得最大值？最大值为多少？

Answer

（1）60；（2）；（3）x时，y有最大值，最大值．

【解析】

（1）只要证明△OBC是等边三角形即可；

（2）求出△AOC的面积，利用三角形的面积公式计算即可；

（3）分三种情形讨论求解即可解决问题：①当0＜x时，M在OC上运动，N在OB上运动，此时过点N作NE⊥OC且交OC于点E．②当x≤4时，M在BC上运动，N在OB上运动．③当4＜x≤4.8时，M、N都在BC上运动，作OG⊥BC于G．

（1）由旋转性质可知：OB＝OC，∠BOC＝60°，

∴△OBC是等边三角形，

∴∠OBC＝60°．

故答案为：60．

（2）如图1中。

∵OB＝4，∠ABO＝30°，

∴OAOB＝2，ABOA＝2，

∴S△AOC•OA•AB2×2．

∵△BOC是等边三角形，

∴∠OBC＝60°，∠ABC＝∠ABO+∠OBC＝90°，

∴AC，

∴OP．

（3）①当0＜x时，M在OC上运动，N在OB上运动，此时过点N作NE⊥OC且交OC于点E．

则NE＝ON•sin60°x，

∴S△OMN•OM•NE1.5xx，

∴yx2，

∴x时，y有最大值，最大值．

②当x≤4时，M在BC上运动，N在OB上运动．

作MH⊥OB于H．

则BM＝8﹣1.5x，MH＝BM•sin60°（8﹣1.5x），

∴yON×MHx2+2x．

当x时，y取最大值，y，

③当4＜x≤4.8时，M、N都在BC上运动，

作OG⊥BC于G．MN＝12﹣2.5x，OG＝AB＝2，

∴y•MN•OG＝12x，

当x＝4时，y有最大值，最大值＝2．

综上所述：y有最大值，最大值为．