Question

已知抛物线L：y＝x²＋x－6与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），并与y轴相交于点C．

(1)求A、B、C三点的坐标，并求出△ABC的面积；

(2)将抛物线向左或向右平移，得到抛物线L´，且L´与x轴相交于A´、B´两点（点A´在点B´的左侧），并与y轴交于点C´，要使△A´B´C´和△ABC的面积相等，求所有满足条件的抛物线的函数表达式．

Answer

（1）A(－3，0)，B(2，0)，C(0，6)；15；（2）y＝x2－7x－6，y＝x2＋7x－6，y＝x2－x－6．

【解析】（1）在抛物线解析式中分别令x=0、y=0即可求得抛物线与坐标轴的交点坐标，然后根据三角形面积公式即可求得三角形的面积；

（2）将抛物线向左或向右平移时，A´、B´两点间的距离不变，始终为5，那么要使△A´B´C´和△ABC的面积相等，高也只能是6，分点C´在x轴上方与x轴下方两种情况分别讨论即可得.

（1）当y＝0时，x2＋x－6＝0，解得x1＝－3，x2＝2，

当x＝0时，y＝－6，

∴A(－3，0)，B(2，0)，C(0，6)，

∴S△ABC＝AB·OC＝×5×6＝15；

（2）将抛物线向左或向右平移时，A´、B´两点间的距离不变，始终为5，

那么要使△A´B´C´和△ABC的面积相等，高也只能是6，

设A(a，0)，则B(a＋5，0)，y＝(x－a)(x－a－5)，

当x＝0时，y＝a2＋5a，

当C´点在x轴上方时，y＝a2＋5a＝6，a＝1或a＝－6，

此时y＝x2－7x－6或y＝x2＋7x－6；

当C´点在x轴下方时，y＝a2＋5a＝－6，a＝－2或a＝－3，

此时y＝x2－x－6或y＝x2＋x－6(与原抛物线重合，舍去)；

所以，所有满足条件的抛物线的函数表达式为：y＝x2－7x－6，y＝x2＋7x－6，y＝x2－x－6．