Question

老师在黑板上写出三个算式:5²-3²=8×2,9²-7²=8×4,15²-3²=8×27,王华接着又写了两个具有同样规律的算式:11²-5²=8×12,15²-7²=8×22,……

(1)请你再写出两个(不同于上面算式)具有上述规律的算式;

(2)用文字写出反映上述算式的规律;

(3)证明这个规律的正确性.

Answer

（1）72-52=8×3;92-32=8×9；（2）任意两个奇数的平方差是8的倍数；（3）证明见解析

【解析】试题通过观察可知，等式左边一直是两个奇数的平方差，右边总是8乘以一个数．根据平方差公式，把等式左边进行计算，即可得出结论任意两个奇数的平方差等于8的倍数．

试题解析：

(1)72-52=8×3;92-32=8×9等.

(2)规律:任意两个奇数的平方差是8的倍数.

(3)证明 设m,n(m≠n)为整数,两个奇数可表示为 2m+1和2n+1,则(2m+1)2-(2n+1)2=4(m-n)(m+n+1).

∵当m,n同是奇数或偶数时,m-n一定为偶数,

∴4(m-n)一定是8的倍数;

∵当m,n一偶一奇时,则m+n+1一定为偶数,

∴4(m+n+1)一定是8的倍数.

∴任意两个奇数的平方差是8的倍数.