Question

如图①，在△ABC中，AB=AC，过AB上一点D作DE∥AC交BC于点E，以E为顶点，ED为一边，作∠DEF=∠A，另一边EF交AC于点F．

（1）求证：四边形ADEF为平行四边形；

（2）当点D为AB中点时，判断▱ADEF的形状；

（3）延长图①中的DE到点G，使EG=DE，连接AE，AG，FG，得到图②，若AD=AG，判断四边形AEGF的形状，并说明理由．

Answer

（1）证明见解析；（2）▱ADEF的形状为菱形，理由见解析；（3）四边形AEGF是矩形，理由见解析.

【解析】

(1)根据平行线的性质得到∠BDE=∠A，根据题意得到∠DEF=∠BDE，根据平行线的判定定理得到AD∥EF，根据平行四边形的判定定理证明；

(2)根据三角形中位线定理得到DE=AC，得到AD=DE，根据菱形的判定定理证明；

(3)根据等腰三角形的性质得到AE⊥EG，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形证明．

(1)证明：∵DE∥AC，

∴∠BDE=∠A，

∵∠DEF=∠A，

∴∠DEF=∠BDE，

∴AD∥EF，又∵DE∥AC，

∴四边形ADEF为平行四边形；

(2)【解析】
□ADEF的形状为菱形，

理由如下：∵点D为AB中点，

∴AD=AB，

∵DE∥AC，点D为AB中点，

∴DE=AC，

∵AB=AC，

∴AD=DE，

∴平行四边形ADEF为菱形，

(3)四边形AEGF是矩形，

理由如下：由(1)得，四边形ADEF为平行四边形，

∴AF∥DE，AF=DE，

∵EG=DE，

∴AF∥DE，AF=GE，

∴四边形AEGF是平行四边形，

∵AD=AG，EG=DE，

∴AE⊥EG，

∴四边形AEGF是矩形．

故答案为：(1)证明见解析；(2)菱形；(3)矩形.