Question

如图，在矩形ABCD中，AB=2cm，∠ADB=30°．P，Q两点分别从A，B同时出发，点P沿折线AB﹣BC运动，在AB上的速度是2cm/s，在BC上的速度是2cm/s；点Q在BD上以2cm/s的速度向终点D运动，过点P作PN⊥AD，垂足为点N．连接PQ，以PQ，PN为邻边作▱PQMN．设运动的时间为x（s），▱PQMN与矩形ABCD重叠部分的图形面积为y（cm²）

（1）当PQ⊥AB时，x等于多少；

（2）求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；

（3）直线AM将矩形ABCD的面积分成1：3两部分时，直接写出x的值．

Answer

（1）s；（2）y=；（3）当x=s或时，直线AM将矩形ABCD的面积分成1：3两部分．

【解析】

(1)当PQ⊥AB时，BQ=2PB，由此构建方程即可解决问题；

(2)分三种情形分别求解即可解决问题；

(3)分两种情形分别求解即可解决问题.

【解析】
(1)当PQ⊥AB时，BQ=2PB，

∴2x=2（2﹣2x），

∴x=s．

(2)①如图1中，当0＜x≤时，重叠部分是四边形PQMN．

y=2x×x=2x2．

②如图②中，当＜x≤1时，重叠部分是四边形PQEN．

y=(2﹣x+2x)×x=x2+x.

③如图3中，当1＜x＜2时，重叠部分是四边形PNEQ．

y=(2﹣x+2)×[x﹣2(x﹣1)]=x2﹣3x+4；

综上所述，y=

（3）①如图4中，当直线AM经过BC中点E时，满足条件．

则有：tan∠EAB=tan∠QPB，

∴=，

解得x=．

②如图5中，当直线AM经过CD的中点E时，满足条件．

此时tan∠DEA=tan∠QPB，

∴=，

解得x=，

综上所述，当x=或时，直线AM将矩形ABCD的面积分成1：3两部分．

故答案为：(1)s；(2)y=；(3)x=或．