Question

如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax²+2ax﹣3a（a＜0）与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，顶点为D，直线DC与x轴相交于点E．

（1）当a=﹣1时，求抛物线顶点D的坐标，OE等于多少；

（2）OE的长是否与a值有关，说明你的理由；

（3）设∠DEO=β，45°≤β≤60°，求a的取值范围；

（4）以DE为斜边，在直线DE的左下方作等腰直角三角形PDE．设P（m，n），直接写出n关于m的函数解析式及自变量m的取值范围．

Answer

（1）（﹣1，4），3；（2）结论：OE的长与a值无关．理由见解析；（3）﹣≤a≤﹣1；（4）n=﹣m﹣1（m＜1）．

【解析】

(1)求出直线CD的解析式即可解决问题；

(2)利用参数a，求出直线CD的解析式求出点E坐标即可判断；

(3)求出落在特殊情形下的a的值即可判断；

(4)如图，作PM⊥对称轴于M，PN⊥AB于N．两条全等三角形的性质即可解决问题.

【解析】
(1)当a=﹣1时，抛物线的解析式为y=﹣x2﹣2x+3，

∴顶点D(﹣1，4)，C(0，3)，

∴直线CD的解析式为y=﹣x+3，

∴E（3，0），

∴OE=3，

(2)结论：OE的长与a值无关．

理由：∵y=ax2+2ax﹣3a，

∴C(0，﹣3a)，D(﹣1，﹣4a)，

∴直线CD的解析式为y=ax﹣3a，

当y=0时，x=3，

∴E（3，0），

∴OE=3，

∴OE的长与a值无关．

(3)当β=45°时，OC=OE=3，

∴﹣3a=3，

∴a=﹣1，

当β=60°时，在Rt△OCE中，OC=OE=3，

∴﹣3a=3，

∴a=﹣，

∴45°≤β≤60°，a的取值范围为﹣≤a≤﹣1．

(4)如图，作PM⊥对称轴于M，PN⊥AB于N．

∵PD=PE，∠PMD=∠PNE=90°，∠DPE=∠MPN=90°，

∴∠DPM=∠EPN，

∴△DPM≌△EPN，

∴PM=PN，PM=EN，

∵D(﹣1，﹣4a)，E(3，0)，

∴EN=4+n=3﹣m，

∴n=﹣m﹣1，

当顶点D在x轴上时，P(1，﹣2)，此时m的值1，

∵抛物线的顶点在第二象限，

∴m＜1．

∴n=﹣m﹣1(m＜1)．

故答案为：(1)(﹣1，4)，3；(2)OE的长与a值无关；(3)﹣≤a≤﹣1；(4)n=﹣m﹣1（m＜1）．