Question

如图，长方形ABCD中，点A（﹣4，1）、B（0，1）、C（0，3），

（1）过O的直线l和经过AC的直线平行，求直线l表达式；

（2）已知在平面直角坐标系中，过一点分别作坐标轴的垂线，若与坐标轴围成矩形的周长与面积相等，则这个点叫做和谐点．在直线l上是否存在点P为和谐点？若存在，求出点P坐标，若不存在，请说明理由．

Answer

（1）y＝x；（2）点P的坐标为（﹣6，﹣3）和（6，3）．

【解析】

（1）根据点A，C的坐标，利用待定系数法可求出经过AC的直线表达式，再利用平行的性质可求出直线l表达式；

（2）设点P的坐标为（2m，m），根据矩形的周长公式、面积公式结合矩形的周长与面积相等，即可得出关于m的一元二次方程，解之取其非零的值即可得出结论．

【解析】
（1）设经过AC的直线表达式为y＝kx+b（k≠0），

将A（﹣4，1），C（0，3）代入y＝kx+b，得：

解得：

∴经过AC的直线表达式为y＝x+3．

∵直线l过原点，且和经过AC的直线平行，

∴直线l的表达式为y＝x．

（2）设点P的坐标为（2m，m），

根据题意得：2|2m+m|＝2m2，

即m2+3m＝0或m2﹣3m＝0，

解得：m1＝0（舍去），m2＝﹣3，m3＝3，

∴在直线l上存在点P为和谐点，点P的坐标为（﹣6，﹣3）和（6，3）．