Question

如图17，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A作BC的平行线交CE的延长线于F，且AF＝BD，连接BF.

(1)求证：BD＝CD.

(2)如果AB＝AC，试判断四边形AFBD的形状，并证明你的结论．

(3)当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD为正方形？(写出条件即可，不要求证明)

Answer

（1）证明见解析；（2）四边形AFBD为矩形；证明见解析；（3）AB=AC，且∠BAC=90°．

【解析】

试题（1）证明△AEF≌△DEC可得AF=DC，再根据条件AF=BD可利用等量代换可得BD=CD；

（2）首先判定四边形AFBD为平行四边形，再根据等腰三角形三线合一的性质可得AD⊥BC，进而可得四边形AFBD为矩形；

（3）当AB=AC，且∠BAC=90°时，四边形AFBD为正方形，首先证明∠ABC=45°，∠BAD=45°，可得AD=BD，进而可得四边形AFBD为正方形．

试题解析：（1）证明：∵AF∥BC，

∴∠AFE=∠ECD．

∵E是AD的中点，

∴DE=AE，

在△AEF与△DEC中，

，

∴△AEF≌△DEC（AAS），

∴AF=DC，

∵AF=BD，

∴BD=CD；

（2）答：四边形AFBD为矩形；

【解析】
∵AF=BD，AF∥BD，

∴四边形AFBD为平行四边形，

∵AB=AC，BD=DC，

∴AD⊥BC，

∴∠BDA=90°，

∴四边形AFBD为矩形；

（3）AB=AC，且∠BAC=90°；

∵AB=AC，且∠BAC=90°，

∴∠ABC=45°，

∵AD⊥BC，

∴∠BAD=45°，

∴AD=DB，

∴四边形AFBD为正方形．