Question

如图1，将一个量角器与一张等边三角形(△ABC)纸片放置成轴对称图形，CD⊥AB,垂足为D，半圆(量角器)的圆心与点D重合，此时，测得顶点C到量角器最高点的距离CE＝2cm，将量角器沿DC方向平移1cm，半圆(量角器)恰与△ABC的边AC，BC相切，如图2,则AB的长为__________cm. 

Answer

【解析】

如图，设图（2）中半圆的圆心为O，与BC的切点为M，连接OM，根据切线的性质可以得到∠OMC＝90°，而根据已知条件可以得到∠DCB＝30°，设AB为2xcm，根据等边三角形得到CDxcm，而CE＝2cm，又将量角器沿DC方向平移1cm，由此得到半圆的半径为OM=（x﹣2）cm，OC＝（x﹣1）cm，然后在Rt△OCM中利用三角函数可以列出关于x的方程，解方程即可求解．

如图，设图（2）中半圆的圆心为O，与BC的切点为M，连接OM，则OM⊥MC，∴∠OMC＝90°，依题意得：∠DCB＝30°，设AB为2xcm．

∵△ABC是等边三角形，∴CDxcm，而CE＝2cm，又将量角器沿DC方向平移1cm，∴半圆的半径为OM=（x﹣2）cm，OC＝（x﹣1）cm，∴sin∠DCB，∴，∴x，∴AB＝2x＝2（cm）．

故答案为：2．