Question

如图，Rt△ ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠BAC， 作AD的垂直平分线EF交AD于点E，交BC的延长线于点F，交AB于点G，交AC于点H．

(1)依题意补全图形；

(2)求证：∠BAD=∠BFG；

(3)试猜想AB，FB和FD之间的数量关系并进行证明．

Answer

(1)补图见解析；(2)证明见解析；(3)，证明见解析.

【解析】

（1）根据题意补全图形；

（2）根据角平分线的定义得到∠BAD=∠CAD．在Rt△AEH和Rt△CFH中，根据三角形内角和定理得到∠CFH=∠CAD，等量代换即可得到结论；

（3）由线段垂直平分线的性质得到AF=FD，通过证明∠BAF=90°．在Rt△BAF中，利用勾股定理即可得到结论．

(1)补全图形如图；

(2)∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD．

∵FE⊥AD，∠ACF=90°，∠AHE=∠CHF，∴∠CFH=∠CAD，∴∠BAD=∠CFH，即∠BAD=∠BFG．

(3)猜想：．证明如下：

连接AF．

∵EF为AD的垂直平分线，∴AF=FD，∠DAF=∠ADF，∴∠DAC+∠CAF=∠B+∠BAD．

∵AD是角平分线，∴∠BAD=∠CAD，∴∠CAF=∠ B，∴∠BAF=∠BAC+∠CAF=∠BAC+∠B=90°，∴，∴．