Question

如图，在平面直角坐标系中，已知点A(1，2)，B(3，2)，连接AB. 若对于平面内一点P，线段AB上都存在点Q，使得PQ≤1，则称点P是线段AB的“临近点”． 

(1)在点C(0，2)，D(2，)，E(4，1)中，线段AB的“临近点”是__________；

(2)若点M(m，n)在直线上，且是线段AB的“临近点”，求m的取值范围；

(3)若直线上存在线段AB的“临近点”，求b的取值范围.

Answer

(1)C、D ；(2)0≤m≤；(3).

【解析】

（1）根据线段AB的“临近点”的定义解答即可；

(2)设与y轴交于M，与A2B2交于N，求出M的坐标和N的坐标，即可得出m的取值范围．

(3)分别求出直线与半圆A相切、半圆B相切时b的值，即可得到结论．

(1)∵A(1，2)，C(0，2)，∴AC=1．

∵A(1，2)在线段AB上，∴点C是线段AB的“临近点”；

∵点离线段AB上（2,2）点最近，2-=＜1，∴点D是线段AB的“临近点”；

∵E(4，1)与线段AB上点B的距离最近，EB=＞1，∴点E不是线段AB的“临近点”．

故线段AB的“临近点”是C、D ．

(2)如图，设与y轴交于M，与A2B2交于N，易知M(0，2)，∴m≥0，易知N的纵坐标为1，代入，可求横坐标为，∴m≤，∴0≤m≤．

(3)如图2，设直线为l，令y=0，得：x=b．当直线与半圆A相切时，过A作AF⊥直线l于F，作AH⊥x轴于H，交直线l于点R，则∠FAR=∠RGH=30°．

∵A(1，2)，∴OH=1，AH=2．

∵AF=1，∠FAR=30°，∴AR=，∴RH=AH-AR=2-．

在Rt△RHG中，∵∠RGH=30°，∴HG=RH．

∵HG=OG-OH=，∴=，解得：；

当直线与半圆B相切时，类似可求：；

∴．