Question

如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC上任意一点，过点D分别向AB、AC引垂线，垂足分别为点E、F.

(1)如图①，当点D在BC的什么位置时，DE＝DF？并证明；

(2)在满足第一问的条件下，连接AD，此时图中共有几对全等三角形？请写出所有的全等三角形(不必证明)；

(3)如图②，过点C作AB边上的高CG，请问DE、DF、CG的长之间存在怎样的等量关系？并加以证明．

Answer

（1）当点D在BC的中点上时，DE=DF，证明见解析；（2）有3对全等三角形，有△BED≌△CFD，△ADB≌△ADC，△AED≌△AFD；（3）CG=DE+DF，证明见解析.

【解析】

试题分析:(1)因为当△BED和△CFD时,DE=DF,所以当点D在BC中点时,可利用AAS判定△BED和△CFD全等,利用全等三角形的性质可得DE=DF,

(2)在(1)的结论下:DE=DF,BD=CD, 利用SSS可判定△ADB≌△ADC,

利用HL可判定△AED≌△AFD,利用AAS可判定△BED≌△CFD,所以有3对全等三角形.

(3)连接AD,根据三角形的面积公式即可求证.

（1）当点D在BC的中点上时,DE=DF,

证明:∵D为BC中点,

∴BD=CD,

∵AB=AC,

∴∠B=∠C,

∵DE⊥AB,DF⊥AC,

∴∠DEB=∠DFC=90°,

∵在△BED和CFD中,

∴△BED≌△CFD（AAS）,

∴DE=DF．

（2）

有3对全等三角形,有△BED≌△CFD,△ADB≌△ADC,△AED≌△AFD,

（3）CG=DE+DF,

证明:连接AD,

因为,

所以,

因为AB=AC,

所以.