Question

（数学阅读）

如图1，在△ABC中，AB＝AC，点P为边BC上的任意一点，过点P作PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别为D，E，过点C作CF⊥AB，垂足为F，求证：PD＋PE＝CF．

小尧的证明思路是：如图2，连接AP，由△ABP与△ACP面积之和等于△ABC的面积可以证得：PD＋PE＝CF．

（推广延伸）

如图3，当点P在BC延长线上时，其余条件不变，请运用上述解答中所积累的经验和方法，猜想PD，PE与CF的数量关系，并证明．

（解决问题）

如图4，在平面直角坐标系中有两条直线l₁：y＝－x＋3，l₂：y＝3x＋3，l₁，l₂与x轴的交点分别为A，B．

(1)两条直线的交点C的坐标为      ；

(2)说明△ABC是等腰三角形；

(3)若l₂上的一点M到l₁的距离是1，运用上面的结论，求点M的坐标．

Answer

【推广延伸】猜想：PD－PE＝CF，证明见解析；【解决问题】(1)C(0，3)；(2)证明见解析；(3)M(－，2)或M(，4)．

【解析】

【推广延伸】根据题意，猜想：PD－PE＝CF,由S△APB－S△ACP＝S△ABC进行作答. 【解决问题】(1)由两直线相交知，联立方程组，得到C的坐标; (2)根据方程组将A,B点求出，得AB线段长，由勾股定理得AC线段长，即可证明△ABC是等腰三角形；（3）根据上述结论得ME线段长，由此得到M点的坐标.

推广延伸

猜想：PD－PE＝CF．

证明：如图，连接AP，

∵ S△APB－S△ACP＝S△ABC，．

∴ AB·PD－AC·PE＝AB·CF．

∵ AB＝AC，

∴ PD－PE＝CF．

解决问题

(1)C(0，3)．

(2)l1：y＝－x＋3，令y＝0，则x＝4，∴A(4，0)．

l2：y＝3x＋3，令y＝0，则x＝－1，∴B(－1，0)，

∴ AB＝5．

在Rt△AOC中，∠AOC＝90°，

∴ AC2＝AO2＋CO2 ，∴AC＝5．

∴ AB＝AC＝5，∴ △ABC是等腰三角形．

(3)过M点分别作MD⊥AC，ME⊥AB，垂足分别为D、E．

由上面的结论得：ME＋MD＝CO或ME－MD＝CO，

∴ ME＝2或ME＝4，∴ M(－，2)或M(，4)．