Question

如图，已知，二次函数的图像交轴正半轴于点，顶点为，一次函数的图像交轴于点，交轴于点，的正切值为.

（1）求二次函数的解析式与顶点坐标；

（2）将二次函数图像向下平移个单位，设平移后抛物线顶点为，若，求的值.

Answer

（1）二次函数解析式为y＝x2－2x，顶点P的坐标是（1，－1）；（2）m＝.

【解析】

（1）先根据题中所给条件求出A点坐标，再利用待定系数法求出函数解析式，将求出的函数解析式化为顶点式，即可得到顶点P的坐标；（2）用含m的代数式表示出P′的坐标，用含m的代数式表示S△ABP′和S△BCP′，根据S△ABP′＝S△BCP′求出m的值即可.

（1）∵一次函数解析式为y＝x－3，

∴OC＝3，

∵tan∠OCA＝，

∴OA＝2，

∴A点坐标为（2,0），将A点坐标代入函数解析式得4＋2b＝0，

解得b＝﹣2，

∴二次函数解析式为y＝x2－2x，

将二次函数解析式化为顶点式，得y＝（x－1）2－1，

∴顶点P的坐标为（1，﹣1）.

（2）如图所示，其中l为抛物线的对称轴，D为l与x轴的交点，

当y＝0时，x－3＝0，解得x＝6，

∴B点坐标为（6,0），

∴AB＝6－2＝4，

在Rt△BOC中，BC＝＝，

∵P′是将二次函数图像向下平移个单位后得到的抛物线的顶点，

∴P′的坐标为（1，﹣1－m），∴DP′＝1＋m

∴S△ABP′＝×AB×DP′＝×4×（1＋m）＝2＋2m，

当P′在直线y＝x－3的左侧时，

S△BCP′＝S△BOC－（S梯形ODP′C＋S△BDP′）＝＝－3m，

∵S△ABP′＝S△BCP′，

∴2＋2m＝－3m，解得m＝，

当P′在直线y＝x－3的右侧时，

S△BCP′＝（S梯形ODP′C＋S△BDP′）－S△BOC＝＝＋3m，

∵S△ABP′＝S△BCP′，

∴2＋2m＝﹣＋m，解得m＝，

综上，m＝或.