Question

(1)观察一列数2，4，8，16，32，…，发现从第二项开始，每一项与前一项之比是一个常数，这个常数是________；根据此规律，如果a_n(n为正整数)表示这个数列的第n项，那么a₁₈＝________，a_n＝________．

(2)欲求1＋3＋3²＋3³＋…＋3²⁰的值，可令

S＝1＋3＋3²＋3³＋…＋3²⁰，①

将①两边同乘3，得__________________，②

由②减去①，得S＝____________．

(3)用由特殊到一般的方法知：若数列a₁，a₂，a₃，…，a_n，从第二项开始每一项与前一项之比的常数为q，则a_n＝________(用含a₁，q，n的代数式表示)．如果这个常数q≠1，求a₁＋a₂＋a₃＋…＋a_n的值(用含a₁，q，n的代数式表示)．

Answer

(1)2,218,2n;(2) 3S＝3＋32＋33＋34＋…＋321,(321-1);(3)

【解析】

（1）根据题意，可得在这个数列中，从第二项开始，每一项与前一项之比是2；有第一个数为2，故可得a18，an的值；

（2）根据题中的提示，可得S的值；

（3）由（2）的方法，依次可以推出a1+a2+a3+…+an的值，注意分两种情况讨论．

（1）每一项与前一项之比是一个常数，这个常数是2，

∴a18=218，an=2n；

故答案为：2，218，2n；

（2）令s=1+3+32+33+…+320

3S=3+32+33+34+…+321

3S-S=321-1

S=(321−1)；

故答案为：3S=3+32+33+34+…+321，S=(321−1)；

（3）∵第二项开始每一项与前一项之比的常数为q，

∴an=a1qn-1，

∵Sn=a1+a2+a3+…+an=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1 ①

∴qSn=a1q+a1q2+a1q3+…+a1qn ②

②-①得：Sn=．