Question

如图，已知抛物线过点A(,-3) 和B(3,0)，过点A作直线AC//x轴，交y轴与点C.

（1）求抛物线的解析式；

（2）在抛物线上取一点P，过点P作直线AC的垂线，垂足为D，连接OA，使得以A，D，P为顶点的三角形与△AOC相似，求出对应点P的坐标；

（3）抛物线上是否存在点Q，使得?若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.

Answer

（1）；（2）P点坐标为（4 ,6）或（,- ）；（3）Q点坐标（3，0）或（-2，15）

【解析】

（1）把A与B坐标代入抛物线解析式求出a与b的值，即可确定出解析式；

（2）设P坐标为，表示出AD与PD，由相似分两种情况得比例求出x的值，即可确定出P坐标；

（3）存在，求出已知三角形AOC边OA上的高h，过O作OM⊥OA，截取OM=h,与y轴交于点N，分别确定出M与N坐标，利用待定系数法求出直线MN解析式，与抛物线解析式联立求出Q坐标即可．

（1）把，和点，代入抛物线得：，

解得：，，

则抛物线解析式为；

（2）当在直线上方时，

设坐标为，则有，，

当时，，即，

整理得：，即，

解得：，即或（舍去），

此时，；

当时，，即，

整理得：，即，

解得：，即或（舍去），

此时，；

当点时，也满足；

当在直线下方时，同理可得：的坐标为，，

综上，的坐标为，或，或，或；

（3）在中，，，

根据勾股定理得：，

，

，

，

边上的高为，

过作，截取，过作，交轴于点，如图所示：

在中，，即，

过作轴，

在中，，，即，，

设直线解析式为，

把坐标代入得：，即，即，

联立得：，

解得：或，即，或，，

则抛物线上存在点，使得，此时点的坐标为，或，．