Question

如图，点O为线段AD上一点，CO⊥AD于点O，OA=OB，OC=OD，点M、N分别是AC、BD的中点，连接OM、ON、MN.

（1）求证：AC=BD；

（2）试判断△MON的形状，并说明理由；

（3）若AC=2，在图2中，点M在DB的延长线上，求△AMD的面积．

Answer

（1）见解析（2）等腰直角三角形（3）

【解析】

（1）根据已知条件可以得出△AOC≌△BOD就可以得出AC=BD，

（2）由直角三角形的性质就可以得出MO=NO=AC=BD，从而得出∠A=∠AOM，∠NBO=∠NOB，又因为△AOC≌△BOD所以∠A=∠OBD，从而得出∠NOB=∠MOA，就可以得出∠NOM=90°，得出△MON的形状。

（3）根据AC=2得出MO= NO=1，AM=DN=1,根据勾股定理可得MN=，所以DM=+1

由△AOC≌△BOD得出∠C=∠D，由∠C+∠A=90可得∠D+∠A=90，所以∠AMD=90，根据三角形的面积公式即可解答。

证明：∵CO⊥AD

∴=90

在△AOC和△BOD中，

，
∴△AOC≌△BOD（SAS），
∴AC=BD，

(2) ∵M、N分别是AC、BD的中点，∠AOC=∠BOD=90°，
∴MO=MA=AC，NO=NB=BD，

∵AC=BD，

∴MO=MA= NO=NB
∴∠A=∠AOM，∠NBO=∠NOB，
∵△AOC≌△BOD

∴∠A=∠OBN，

∴∠AOM=∠BON．
∵∠AOM+∠COM=90°，
∴∠BON+∠COM=90°，
∴∠MON=90°．

∴△MON是等腰直角三角形．

（3）∵AC=2

由（2）可得MO= NO=1，AM=DN=1

根据勾股定理可得MN=，

∴DM=+1

∵△AOC≌△BOD

∴∠C=∠D

∵=90

∴∠C+∠A=90

∴∠D+∠A=90 ∴∠AMD=90，

∴MA.DM=+1)=