Question

已知长方形ABCD中，AD=10cm,AB=6cm,点M在边CD上，由C往D运动，速度为1cm/s，运动时间为t秒，将△ADM沿着AM翻折至△AD´M，点D对应点为D´，AD´所在直线与边BC交于点P.

（1）如图1，当t=0时，求证：PA=PC；

（2）如图2，当t为何值时，点D´恰好落在边BC上；

（3）如图3，当t=3时，求CP的长.

（

Answer

（1）见解析（2）（3）

【解析】

（1）由折叠性质可得ADCA D´C可得∠DAC=∠D´AC, 在长方形ABCD中，AD//BC,可得 ∠DAC=∠BCA,从而得到∠D´AC=∠BCA，即可得出结论。

（2）由折叠性质可得ADCA D´C可得D´M=DM=6-t，AD=A D´=10，根据勾股定理可得B D´=8则C D´=2,在RtCM D´中，根据勾股定理列出方程即可。

（3）当t=3时，CM=DM=3, 连接PM，根据HL证得M D´PMCP,可得D´P=PC, ∠D´MP=∠CMP, 由折叠性质可得得出∠AMD=∠AMD´,从而证得∠AMP=90,再根据ADMMDP即可。

（1）当t=0时，M与C重合

由折叠性质可得ADCA D´C

∴∠DAC=∠D´AC,

在长方形ABCD中，AD//BC,

∴ ∠DAC=∠BCA

∴∠D´AC=∠BCA，

∴PA=PC；

（2）由折叠性质可得ADCA D´C

∴D´M=DM=6-t，AD=A D´=10，

在RtABD´中，B D´==8

∴D´C=BC- B D´=10-8=2cm

在RtCMD´中，

∴

解得：t=

∴当t=时，点D´恰好落在边BC上；

（3）当t=3时，CM=DM= D´M=3,

由折叠性质可得：∠AD´M=∠D=90

连接PM，

在RtM D´P和RtMCP中

∴M D´PMCP,

∴D´P=PC, ∠DMP=∠CMP,

∵∠AMD=∠AMD´

∴∠PMD´+∠AMD´=90

∵∠MAP +∠AMD´´=90

∴∠PMD´=∠MAP

∵∠AD´M=∠PD´M

∴M D´AP D´M

∴

∴= P D´. A D´

∴= P D´.10

∴P D´=

∴CP=