Question

如图，AB为⊙O的直径，CB，CD分别切⊙O于点B，D，CD交BA的延长线于点E，CO的延长线交⊙O于点G,EF⊥OG于点F。

（1）求证：∠FEB=∠ECF

（2）BC= 12, DE=8 求 EA的长。

Answer

（1）详见解析；（2）4.

【解析】

（1）利用切线长定理得到OC平分∠BCE，即∠ECF=∠BCO，利用切线的性质得OB⊥BC，则∠BCO+∠COB=90°，由于∠FEB+∠FOE=90°，∠COB=∠FOE，所以∠FEB=∠ECF；

（2）连接OD，如图，利用切线长定理和切线的性质得到CD=CB=12，OD⊥CE，则CE=20，利用勾股定理可计算出BE=16，设⊙O的半径为r，则OD=OB=r，OE=16﹣r．在Rt△ODE中，根据勾股定理得r2+82=（16﹣r）2，解得r=6，即可得出EA的长．

（1）∵CB、CD分别切⊙O于点B，D，∴OBBC，OC平分∠BCE，即∠ECF=∠BCO．

∵∠OBC=90°，∴∠BCO+∠COB=90°．

∵EFOG，∴∠FEB+∠FOE=90°．

又∵∠COB=∠FOE，∴∠FEB=∠BCO=∠ECF．

(2) 连接OD．

∵CB、CD分别切⊙O于点B，D，∴ CD=CB=12，ODCE，∴CE=CD+DE=12+8=20．

在Rt△BCE中，

设⊙O的半径为r，则OD=OB=r，OE=16-r．

在Rt△ODE中，，解得：r=6．

∴EA=EB一2r=16 一12= 4．