Question

如图所示，已知抛物线的图像经过点A(1,0),B(0,5),   

（1）求这个抛物线的解析式；

（2）设（1）中的抛物线与x轴的另一个交点为C,求出点C的坐标；并确定在抛物线上是否存在一点E,使△BCE是以BC为斜边的直角三角形？若存在，在图中做出所有的点E（不写画法，保留作图痕迹）；若不存在，说明理由；

（3）点P是直线BC上的一个动点（P点不与B点和C点重合），过点P做x轴的垂线，交抛物线于点M,点Q在直线BC上，距离点P为个单位长度，设点P的横坐标为t，△PMQ的面积为S，求出S与t之间的函数关系式。

Answer

（1）；（2）点C的坐标是（－5，0），存在，图形详见解析；（3）．

【解析】

（1）将点A、点B的坐标代入抛物线解析式可得出b、c的值，继而得出抛物线解析式；

（2）根据抛物线解析式求出点C的坐标，以BC的中点D为圆心，以BC为半径画圆，与抛物线有两个交点E和E′；

（3）由点B的坐标为（0，5），点C的坐标为（-5，0），可得直线BC的解析式为y=x+5．

设P的坐标为（t，t+5），则点M的坐标（t，）．过点Q作QF⊥PM于点F，则△PQF为等腰直角三角形，得到QF=1.然后分两种情况讨论：①当点P在点M下方时，即-5﹤t﹤0时，②当点P在点M上方时，t﹤-5或t＞0时，分别表示出PM，然后求出△PMQ的面积即可．

（1）将点A（1，0）、点B（0，5）代入抛物线y=﹣x2+bx+c可得：，解得：，故抛物线解析式为：y=﹣x2﹣4x+5．

（2）由y=﹣x2﹣4x+5，令y=0，得：﹣x2﹣4x+5=0，解得：x1=﹣5，x2=1，则点C的坐标为（﹣5，0），若在抛物线上存在点E，使△BCE是以BC为斜边的直角三角形，则∠BEC=90°，即点E是以BC为直径的圆与抛物线的交点．如图：

（3）由点B的坐标为（0，5），点C的坐标为（-5，0），∴可得直线BC的解析式为y=x+5．

∵点P的横坐标为t，PM⊥x轴，∴点M的横坐标为t．

又点P在直线BC上，点M在抛物线上，∴所以点P的坐标为（t，t+5），点M的坐标（t，）．

过点Q作QF⊥PM于点F，则△PQF为等腰直角三角形．

∵ ∴QF=1．

当点P在点M下方时，即-5﹤t﹤0时，如图1，，∴；

当点P在点M上方时，t﹤-5或t＞0时，如图2，图3，，∴．

综上所述：．