Question

如图1，E是等边三角形ABC的边AB所在直线上一点，D是边BC所在直线上一点，且D与C不重合，若EC＝ED．则称D为点C关于等边三角形ABC的反称点，点E称为反称中心．

在平面直角坐标系xOy中，

（1）已知等边三角形AOC的顶点C的坐标为（2，0），点A在第一象限内，反称中心E在直线AO上，反称点D在直线OC上．

①如图2，若E为边AO的中点，在图中作出点C关于等边三角形AOC的反称点D，并直接写出点D的坐标：　   　；

②若AE＝2，求点C关于等边三角形AOC的反称点D的坐标；

（2）若等边三角形ABC的顶点为B（n，0），C（n+1，0），反称中心E在直线AB上，反称点D在直线BC上，且2≤AE＜3．请直接写出点C关于等边三角形ABC的反称点D的横坐标t的取值范围：　   　（用含n的代数式表示）．

Answer

(1)①D（-1,0）; ②D(2,0);(2) 或

【解析】

（1）①根据题中反称点与反称中心的定义做出点D，可得坐标；

②易得AO=OC=2，由AE=2,分E点的两个可能的位置（如图3，图4）讨论，可得D点的值；

(2)由（1）可得反称点与反称中心的规律，当B(n,0)，C(n+1,0)，2≤AE<3可得或.

（1）① 如图，

或

D(-1,0)

② ∵等边三角形AOC的两个顶点为O(0,0)，C(2,0),

∴OC=2.

∴AO=OC=2.

由AE=2可知，点E有两个可能的位置（如图3，图4）.

图3 图4

(ⅰ) 如图3，点E与坐标原点O重合.

∵EC=ED，EC=2,

∴ED=2.

∵D是边OC所在直线上一点，且D与C不重合,

∴D点坐标为(2,0) .

(ⅱ) 如图4，点E在边OA的延长线上，且AE=2.

∵AC=AE=2,

∴∠E=∠ACE.

∵△AOC为等边三角形,

∴∠OAC =∠ACO=60°.

∴∠E=∠ACE=30°.

∴∠OCE=90°.

∵EC=ED,

∴点D与点C重合.

这与题目条件中的D与C不重合矛盾，所以图4中的情况不符合要求，舍去.

综上所述：D(2,0). …

（2）或.