Question

如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，BC=8，∠BAC与∠ACB的平分线相较于点E，过点E作EF∥BC交AC于点F，则EF的长为________．

Answer

【解析】

延长FE交AB于点D，作EG⊥BC、作EH⊥AC，由EF∥BC可证四边形BDEG是矩形，由角平分线可得ED=EH=EG、∠DAE=∠HAE，从而知四边形BDEG是正方形，再证△DAE≌△HAE、△CGE≌△CHE得AD=AH、CG=CH，设BD=BG=x，则AD=AH=6-x、CG=CH=8-x，由AC=10可得x=2，即BD=DE=2、AD=4，再证△ADF∽△ABC可得DF=，据此得出EF=DF-DE=．

如图，延长FE交AB于点D，作EG⊥BC于点G，作EH⊥AC于点H，

∵EF∥BC、∠ABC=90°，

∴FD⊥AB，

∵EG⊥BC，

∴四边形BDEG是矩形，

∵AE平分∠BAC、CE平分∠ACB，

∴ED=EH=EG，∠DAE=∠HAE，

∴四边形BDEG是正方形，

在△DAE和△HAE中，

∵，

∴△DAE≌△HAE（SAS），

∴AD=AH，

同理△CGE≌△CHE，

∴CG=CH，

设BD=BG=x，则AD=AH=6-x、CG=CH=8-x，

∵AC==10，

∴6-x+8-x=10，

解得：x=2，

∴BD=DE=2，AD=4，

∵DF∥BC，

∴△ADF∽△ABC，

∴，即，

解得：DF=，

则EF=DF-DE=-2=，

故答案为.