Question

如图，一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC=120mm，高AD=80mm，把它加工成矩形零件，使矩形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，设EG=x mm，EF=y mm．

（1）写出x与y的关系式；

（2）用S表示矩形EGHF的面积，某同学说当矩形EGHF为正方形时S最大，这个说法正确吗？说明理由，并求出S的最大值．

Answer

（1）y=120-x；（2）当矩形EGHF为正方形时S最大，这个说法是错误的. x=40mm，y=60mm时，矩形EGHF的面积最大，最大面积为2400平方毫米．

【解析】

（1）易证△AEF∽△ABC，根据相似三角形对应边的比等于对应高的比，即可求解；

（2）矩形EGHF的面积S=xy，根据（1）中y与x的函数关系式，即可得到S与x之间的函数关系，根据函数的性质即可求解；

根据已知条件易知：EF∥BC，AD⊥EF，PN=GH=ymm，DK=EG=xmm，

∴△AEF∽△ABC．

从而有,即,

∴y=120-x；

（2）设矩形EGHF的面积为S，则S=xy，

即S=x（120-x），

当x=-=40时，S有最大值为2400

此时y==60

∴x=40mm，y=60mm时，矩形EGHF的面积最大，最大面积为2400平方毫米．

故当矩形当矩形EGHF为正方形时S最大，这个说法是错误的.为正方形时S最大，这个说法是错误的.