Question

如图所示，抛物线y=ax²-x+c经过原点O与点A（6，0）两点，过点A作AC⊥x轴，交直线y=2x-2于点C，且直线y=2x-2与x轴交于点D．

（1）求抛物线的解析式，并求出点C和点D的坐标；

（2）求点A关于直线y=2x-2的对称点A′的坐标，并判断点A′是否在抛物线上，并说明理由；

（3）点P（x，y）是抛物线上一动点，过点P作y轴的平行线，交线段CA′于点Q，设线段PQ的长为l，求l与x的函数关系式及l的最大值．

Answer

（1）抛物线解析式为y=x2-x．点C坐标（6，10），点D的坐标（1，0）；（2）在；（3）l=-x2+x+，最大值为．

【解析】

（1）把O、A代入抛物线解析式即可求出a、c，令y=0，即可求出D坐标，根据A、C两点横坐标相等，即可求出点C坐标．

（2）过点A′作AF⊥x轴于点F，求出A′F、FO即可解决问题．

（3）设点P（x，x2-x），先求出直线A′C的解析式，再构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题．

（1）把点O（0，0），A（6，0）代入y=ax2-x+c，得

，解得，

∴抛物线解析式为y=x2-x．

当x=6时，y=2×6-2=10，

当y=0时，2x-2=0，解得x=1，

∴点C坐标（6，10），点D的坐标（1，0）；

（2）过点A′作AF⊥x轴于点F，

∵点D（1，0），A（6，0），可得AD=5，

在Rt△ACD中，CD==5，

∵点A与点A′关于直线y=2x-2对称，

∴∠AED=90°，

∴S△ADC=×5•AE=×5×10，

解得AE=2，

∴AA′=2AE=4，DE=，

∵∠AED=∠AFA′=90°，∠DAE=∠A′AF，

∴△ADE∽△AA′F，

∴，

解得AF=4，A′F=8，

∴OF=8-6=2，

∴点A′坐标为（-2，4），

当x=-2时，y=×4-×（-2）=4，

∴A′在抛物线上．

（3）∵点P在抛物线上，则点P（x，x2-x），

设直线A′C的解析式为y=kx+b，

∵直线A经过A′（-2，4），C（6，10）两点，

∴，解得，

∴直线A′C的解析式为y=x+，

∵点Q在直线A′C上，PQ∥AC，点Q的坐标为（x，x+），

∵PQ∥AC，又点Q在点P上方，

∴l=（x+）-（x2-x）=-x2+x+，

∴l与x的函数关系式为l=-x2+x+，（-2＜x≤6），

∵l=-x2+x+=-（x-）2+，

∴当x=时，l的最大值为．