Question

如图，已知抛物线y=a（x+2）（x-4）（a为常数，且a＞0）与x轴从左至右依次交于A，B两点，与y轴交于点C，经过点B的直线y=-x+b与抛物线的另一交点为D，且点D的横坐标为-5．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）P为直线BD下方的抛物线上的一点，连接PD、PB，求△PBD面积的最大值；

（3）设F为线段BD上一点（不含端点），连接AF，一动点M从点A出发，沿线段AF以每秒1个单位的速度运动到F，再沿线段FD以每秒2个单位的速度运动到D后停止，当点F的坐标是多少时，点M在整个运动过程中用时最少？

Answer

（1）；（2）；（3）（-2，2）

【解析】

（1）首先求出点A、B坐标，然后求出直线BD的解析式，求得点D坐标，代入抛物线解析式，求得a的值；

（2）用三角形的面积公式建立函数关系式，再确定出最大值；

（3）由题意，动点M运动的路径为折线AF+DF，运动时间：t=AF+DF．如图，作辅助线，将AF+DF转化为AF+FG；再由垂线段最短，得到垂线段AH与直线BD的交点，即为所求的F点．

（1）抛物线y=a（x+2）（x-4），令y=0，解得x=-2或x=4，

∴A（-2，0），B（4，0）．

∵直线y=-x+b经过点B（4，0），

∴-×4+b=0，解得b=，

∴直线BD解析式为：y=-x+，

当x=-5时，y=3，

∴D（-5，3），

∵点D（-5，3）在抛物线y=a（x+2）（x-4）上，

∴a（-5+2）（-5-4）=3，

∴a=．

∴抛物线的函数表达式为：y=x2-x-

（2）设P（m，m2-m-）

∴S△BPD=×9[（-m+）-（m2-m-）]

=-m2-m+10

=-（m+）2+

∴△BPD面积的最大值为；

（3）如图，

作DK∥AB，AH⊥DK，AH交直线BD于点F，

∵由（2）得，DN=3，BN=9，

∵∠DBA=30°，

∴∠BDH=30°，

∴FG=DF×sin30°=FD，

∴当且仅当AH⊥DK时，AF+FH最小，

点M在整个运动中用时为：t=AF+FD=AF+FH，

∵lBD：y=-x+，

∴Fx=Ax=-2，F（-2，2）

∴当F坐标为（-2，2）时，用时最少．