Question

如图，在△ABC中，E是AC边上的一点，且AE=AB，∠BAC=2∠CBE，以AB为直径作⊙O交AC于点D，交BE于点F．

（1）求证：BC是⊙O的切线；

（2）若AB=8，BC=6，求DE的长．

Answer

（1）证明过程见解析；（2）1.6

【解析】

试题（1）由AE=AB，可得∠ABE=90°﹣∠BAC，又由∠BAC=2∠CBE，可求得∠ABC=∠ABE+∠CBE=90°，继而证得结论；

（2）首先连接BD，易证得△ABD∽△ACB，然后由相似三角形的对应边成比例，求得答案．

试题解析：（1）∵AE=AB，

∴△ABE是等腰三角形，

∴∠ABE=（180°﹣∠BAC=）=90°﹣∠BAC，

∵∠BAC=2∠CBE，

∴∠CBE=∠BAC，

∴∠ABC=∠ABE+∠CBE=（90°﹣∠BAC）+∠BAC=90°，

即AB⊥BC，

∴BC是⊙O的切线；

（2）连接BD，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ADB=90°，

∵∠ABC=90°，

∴∠ADB=∠ABC，

∵∠A=∠A，

∴△ABD∽△ACB，

∴，

∵在Rt△ABC中，AB=8，BC=6，

∴AC==10，

∴，

解得：AD=6.4，

∵AE=AB=8，

∴DE=AE﹣AD=8﹣6.4=1.6．