Question

某商场销售一种成本为每件30元的商品，销售过程中发现，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系可近似看作一次函数y＝－10x＋600，商场销售该商品每月获得利润为w（元）．

（1）求w与x之间的函数关系式；

（2）如果商场销售该商品每月想要获得2000元的利润，那么每月成本至少多少元？

（3）为了保护环境，政府部门要求用更加环保的新产品替代该商品，商场销售新产品，每月的销量与销售价格之间的关系与原产品的销售情况相同，新产品的成本每件32元，若新产品每月的销售量不低于200件时，政府部门给予每件4元的补贴，试求定价多少元时，每月销售新产品的利润最大？求出最大的利润。

Answer

（1）w＝－10x2＋900x－18000; (2) 3000元; (3) 40元，最大利润为2400元.

【解析】试题（1）根据：月利润=（销售单价﹣成本价）×销售量，从而列出关系式；

（2）令w=2000，然后解一元二次方程，从而求出销售单价，再根据：月成本=成本价×销售量可得答案；

（3）根据销售量低于200件和不低于200件求出x的范围，并根据：利润=每件产品的利润×销售量，从而列出关系式；运二次函数性质求出其最值，比较大小可得．

试题解析：【解析】
（1）w=（x﹣30）（﹣10x+600）=﹣10x2+900x﹣18000；

（2）由题意得，﹣10x2+900x﹣18000=2000，解得：x1=40，x2=50，当x=40时，成本为30×（﹣10×40+600）=6000（元），当x=50时，成本为30×（﹣10×50+600）=3000（元），∴每月想要获得2000元的利润，每月成本至少3000元；

（3）当y＜200时，即：﹣10x+600＜200，解得：x＞40，w=（x﹣32）（﹣10x+600）=﹣10（x﹣46）2+1960，∵a=﹣10＜0，x＞40，∴当x=46时，w最大值=1960（元）；

当y≥200时，即：﹣10x+600≥200，解得：x≤40，w=（x﹣32+4）（﹣10x+600）=﹣10（x﹣44）2+2560，∵a=﹣10＜0，∴抛物线开口向下，当32＜x≤40时，w随x的增大而增大，∴当x=40时，w最大值=2400（元），∵1960＜2400，∴当x=40时，w最大．

答：定价每件40元时，每月销售新产品的利润最大，最大利润为2400元．