Question

如图，已知抛物线y=x²+bx+c的图象与x轴的一个交点为B（4，0），另一个交点为A，且与y轴交于点C（0，4）．

（1）求直线BC与抛物线的解析式；

（2）若点M是抛物线在x轴下方图象上的一动点，过点M作MN∥y轴交直线BC于点N，当 MN的值最大时，求△BMN的周长．

（3）在（2）的条件下，MN取得最大值时，若点P是抛物线在x轴下方图象上任意一点，以BC为边作平行四边形CBPQ，设平行四边形CBPQ的面积为S₁，△ABN的面积为S₂，且S₁=4S₂，求点P的坐标．

Answer

（1）抛物线的解析式为y=x2﹣5x+4；（2）4+4；（3）点P的坐标为P（3，﹣2）．

【解析】试题（1）利用待定系数法及直线BC上的两点列方程，从而得出一次函数的解析式；根据二次函数上面的两点坐标列出两个方程，从而确定二次函数的一次项系数和常数项；

（2）根据M,N的位置关系，易得他们的横坐标相同，设出对应的坐标，M（x，x2﹣5x+4）（1＜x＜4），则N（x，﹣x+4），根据两点坐标表示出MN的长度为MN=（﹣x+4）﹣（x2﹣5x+4）=﹣x2+4x，然后配方，求出MN的最大值；从而△BMN的周长得解；

（3）先求出△ABN的面积为S2,=3，再根据S1=4S2得S1=12.根据平行四边形的底边AB=，得出平行四边形的高线BD=,再求x粥上面的BE的长度为3，得点E与点A重合，则过点A平行于BC的直线PQ为y=﹣x+1，最后与二次函数联立方程组，得出点P的坐标.

试题解析：

（1）设直线BC的解析式为y=mx+n，

将B（4，0），C（0，4）两点的坐标代入，

得， ，

∴

所以直线BC的解析式为y=﹣x+4；

将B（4，0），C（0，4）两点的坐标代入y=x2+bx+c，

得， ，

∴

所以抛物线的解析式为y=x2﹣5x+4；

（2）如图1，

设M（x，x2﹣5x+4）（1＜x＜4），则N（x，﹣x+4），

∵MN=（﹣x+4）﹣（x2﹣5x+4）=﹣x2+4x=﹣（x﹣2）2+4，

∴当x=2时，MN有最大值4；

∵MN取得最大值时，x=2，

∴﹣x+4=﹣2+4=2，即N（2，2）．

x2﹣5x+4=4﹣5×2+4=﹣2，即M（2，﹣2），

∵B（4.0）

可得BN=2，BM=2

∴△BMN的周长=4+2+2=4+4

（3）令y=0，解方程x2﹣5x+4=0，得x=1或4，

∴A（1，0），B（4，0），

∴AB=4﹣1=3，

∴△ABN的面积S2=×3×2=3，

∴平行四边形CBPQ的面积S1=4S2=12．

如图2，

设平行四边形CBPQ的边BC上的高为BD，则BC⊥BD．

∵BC=4 ，

∴BC•BD=12，

∴BD= ．

过点D作直线BC的平行线，交抛物线与点P，交x轴于点E，在直线DE上截取PQ=BC，连接CQ，则四边形CBPQ为平行四边形．

∵BC⊥BD，∠OBC=45°，

∴∠EBD=45°，

∴△EBD为等腰直角三角形，由勾股定理可得BE=BD=3，

∵B（4，0），

∴E（1，0），

设直线PQ的解析式为y=﹣x+t，

将E（1，0）代入，得﹣1+t=0，解得t=1

∴直线PQ的解析式为y=﹣x+1．

解方程组， ，

得，或，

∵P1（1，0）在x轴上，舍去．

∴点P的坐标为P（3，﹣2）．