Question

如图，正方形ABCD的边长AD为⊙O 的直径，E是AB上一点，将正方形的一个角沿EC折叠，使得点B恰好与圆上的点F重合，则 tan∠AEF＝_____．

Answer

【解析】

连接OF，OC．根据全等三角形的性质得到∠OFC=∠ODC=90°，于是得到FC是⊙O的切线；根据正方形的性质得到AD=BC=AB=CD，由∠CFE=∠B=90°，得到E，F，O三点共线．根据勾股定理得到BE的长，即可得到结论．

【解析】
如图，连接OF，OC．

在△OCF 和△OCD 中，

，

∴△OCF≌△OCD（SSS），

∴∠OFC＝∠ODC＝90°，

∴CF 是⊙O 的切线，

∵四边形 ABCD 是正方形，

∴可设 AD＝BC＝AB＝CD＝2，

∵∠CFE＝∠B＝90°，

∴E，F，O 三点共线．

∵EF＝EB，

∴在△AEO 中，AO＝1，AE＝2﹣BE，EO＝1+BE，

∴（1+BE）2＝1+（2﹣BE）2，

∴BE＝，

∴AE＝，

∴tan∠AEF＝．

故答案为：．