Question

如图，在Rt△ABC中，AC＝8cm，BC＝6cm，P点在BC上，从B点到C点运动（不包括 C点），点 P运动的速度为1cm/s；Q点在AC上从C点运动到A点（不包括A点），速度为2cm/s，若点 P、Q 分别从B、C 同时运动，且运动时间记为t秒，请解答下面的问题，并写出探索的主要过程．

（1）当 t 为何值时，P、Q 两点的距离为 4cm？

（2）请用配方法说明，点P运动多少时间时，四边形BPQA的面积最小？最小面积是多少？

 

Answer

(1) 2或;(2) 3秒，15cm2．

【解析】

（1）根据勾股定理PC2+CQ2=PQ2，便可求出经过2或s后，P、Q两点的距离为4cm；（2）根据三角形的面积公式S△PCQ=×PC×CQ以及二次函数最值便可求出t=1.75s时△PCQ的面积最大，进而求出四边形BPQA的面积最小值．

：（1）∵在Rt△ABC中，AC=8cm，BC=6cm，
∴AB=10cm，
设经过ts后，P、Q两点的距离为4cm，
ts后，PC=6-t cm，CQ=2t cm，
根据勾股定理可知PC2+CQ2=PQ2，
代入数据（6-t）2+（2t）2=（4）2；
解得t=2或t=，
故t为2或时，P、Q两点的距离为4cm；

（2）设经过ts后，△PCQ的面积最大，则此时四边形BPQA的面积最小，
ts后，PC=6-tcm，CQ=2t cm，
S△PCQ=×PC×CQ=×（6-t）×2t=-t2+6t
当t=-时，即t=3s时，△PCQ的面积最大，
即S△PCQ=

×PC×CQ=×（6-3）×6=9（cm2），
∴四边形BPQA的面积最小值为：S△ABC-S△PCQ最大=×6×8-9=15（cm2），
当点P运动3秒时，四边形BPQA的面积最小为：15cm2．