Question

如图，正方形ABCD的边长为1，分别以顶点A、B、C、D为圆心，1为半径画弧，四条弧交于点E、F、G、H，则图中阴影部分的外围周长为_____．

Answer

π

【解析】

连接AF、DF，根据圆的性质：同圆或等圆的半径相等判断出△ADF是等边三角形，再根据正方形和等边三角形的性质求出∠BAF=30°，同理可得弧DE的圆心角是30°，然后求出弧EF的圆心角是30°，再根据弧长公式求出弧EF的长，然后根据对称性，图中阴影部分的外围四条弧都相等列式计算即可得解．

如图，连接AF、DF，

由圆的定义，AD=AF=DF，

所以，△ADF是等边三角形，

∵∠BAD=90°∠FAD=60°，

∴∠BAF=90°−60°=30°，

同理,弧DE的圆心角是30°，

∴弧EF的圆心角是90°−30°×2=30°，

∴弧EF的长= = ，

由对称性知，图中阴影部分的外围四条弧都相等，

所以,图中阴影部分的外围周长= ×4= π.