Question

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BD为∠ABC的平分线，DF⊥BD交AB于点F，△BDF的外接圆⊙O与边BC相交于点M，过点M作AB的垂线交BD于点E，交⊙O于点N，交AB于点H，连结FN．

（1）求证：AC是⊙O的切线；

（2）若AF=4，tan∠N=，求⊙O的半径长；

（3）在（2）的条件下，求MN的长．

Answer

（1）证明见解析；（2）⊙O的半径长为6；（3）．

【解析】(1) 连结OD，由BD为∠ABC的平分线，证OD∥BC，可得AC⊥OD；

(2)由OD∥BC得∠AOD=∠ABC，再推∠AOD=∠N，在Rt△AOD中，有，设⊙O的半径为，则；

（3）连结BN，由垂径定理得MN=2NH；再证∠FNH=∠NBH，

再通过证：在Rt△FBN中，，

得到在Rt△HBN中，.

（1）连结OD，

∵OD=OB，

∴∠ODB=∠OBD，

∵BD为∠ABC的平分线，.

∴∠DBC=∠OBD，

∴∠ODB=∠DBC，

∴OD∥BC，

∵AC⊥BC，

∴AC⊥OD，

∴AC是⊙O的切线．

（2）∵OD∥BC，

∴∠AOD=∠ABC，

∵∠N=∠ABC，

∴∠AOD=∠N，

在Rt△AOD中，

∵，

∴，即5OD=3AO，

设⊙O的半径为，则,

解得：r=6，

∴⊙O的半径长为6．

（3）连结BN，

∵BF为⊙O的直径，

∴BN⊥FN，

∴∠NBH+∠BFN=90°，

∵MN⊥FB，

∴∠HNF+∠BFN=90°，

∴∠FNH=∠NBH，

∴，

∴，,

∴在Rt△FBN中，，

∴在Rt△HBN中，

，

由垂径定理可得：.

故正确答案为：（1）证明见解析；（2）⊙O的半径长为6；（3）