Question

如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为D，以 AD为直径作⊙O，⊙O分别交AB、AC于 E、F．

（1）求证：BE＝CF；

（2）设 AD、EF相交于G，若 EF＝8，⊙O的半径为5，求DG的长．

Answer

（1）见解析；（2）DG 的长为 2．

【解析】

（1）连接DE，DF，由AB=AC，且AD为BC边上的高，利用三线合一得到D为BC的中点，AD为顶角平分线，再由AD为圆O的直径，利用直角所对的角为直角得到一对直角相等，利用AAS得到三角形EBD与三角形FCD全等，由全等三角形的对应边相等得到BE=CF，得证；

（2）由（1）AB=AC，BE=CF知AE=AF，又∠BAD=∠CAD根据等腰三角形三线合一知AD垂直平分EF；连接OE，设DG=x，分别表示出OE、OG、EF的长，根据勾股定理可得x的值．

（1）如图，连接 DE、DF、OE，

∵AB=AC，AD⊥BC，

∴∠B=∠C，BD=CD，∠BAD=∠CAD

∵AD为 O的直径，

∴∠DEA=∠DFA=90°，

在△DBE和△DCF中，

，

∴△DBE≌△DCF（AAS），

∴BE=CF；

（2）∵AB=AC，BE=CF，

∴AE=AF，

∵∠BAD=∠CAD，EF=8

∴AD⊥EF，EG=FG=EF=4，

设DG=x，

∵⊙O的半径为5，

∴OE=5，OG=5-x，

在Rt△OEG中，∵OE2=EG2+OG2，

∴52=42+（5-x）2，

解得：x1=2，x2=8（舍去），

故DG的长为2．