Question

已知二次函数y＝－x²＋（m＋1）x－m（m为常数）．

（1）求证：不论m为何值，该二次函数的图像与x轴总有公共点；

（2）若该二次函数的图像与x轴交于不同的两点A、B，与y轴交于点C，且AB²＝2OC²（O为坐标原点），求m的值．

Answer

（1）证明见解析；（2）．

【解析】

根据抛物线与x轴有交点时y=0，得到b2－4ac≥0，即可得出答案；

当y=0时求出抛物线与x轴的交点横坐标为m,1，求得AB的长，当x＝0时，y＝－m，求得 OC的长，再根据AB2＝2OC2即可求出m.

（1）当y＝0时，－x2＋（m＋1）x－m＝0．

∵a＝－1，b＝（m+1） ，c＝－m

∴b2－4ac＝（m+1）2－4×（－1）×（－m）＝（m－1）2≥0．

∴－x2＋（m+1）x－m＝0有实数解．

∴不论m为何值，该函数的图像与x轴总有公共点．

（2）当y＝0时，－x2＋（m＋1）x－m＝0．

∴x2－（m＋1）x＋m＝0．

∴x1＝m ，x2＝1．

∴AB2＝（m－1） 2．

当x＝0时，y＝－m．

∴OC2＝（－m） 2．

∵AB2＝2OC2，∴（m－1） 2＝2 （－m） 2．

∴m1＝－1＋，m2＝－1－．

即m的值为－1＋或－1－．